摘要：本研究关注一类具有时空移动异质性的脉冲非局部扩散系统，重点讨论递归系统的空间传播性质，包括解的向上收敛性和渐近湮灭性，并针对不同移动速度场景，建立了饱和型或灭绝型强迫行波解的存在性、唯一性与不存在性理论。
研究背景：以生物种群为例，其在地理区域内的扩散过程受多种因素驱动，往往呈现大空间尺度上的扩散特征。为精准刻画这类更大空间尺度下的长程相互作用，研究者引入积分算子替代传统微分算子，进而导出非局部扩散方程，其中，长距离相互作用可通过如下形式加以刻画气候变化，尤其是全球变暖，对物种分布具有显著影响，甚至可能改变局部生态平衡。正如Cosner所言，气候变化会改变入侵种群所处的非生物环境及其种间相互作用，使得对生物入侵的理解与预测更为困难。为探究物种能否适应气候变化趋势，Li等与Wang和Zhao基于物种大范围自由迁移特性，研究了适宜生存区域随时间逐渐缩小情形下的非局部扩散种群模型，重点探讨了强迫波（与环境移动速度一致的行波解）的存在性、唯一性、吸引性及其传播性质。除环境因素外，不少研究者还将系统演化过程中瞬时或特定时刻的状态突变作为重要影响因素加以考量。Lewis和Li基于种群季节性出生（或收获脉冲）特征，提出了一类脉冲反应扩散系统。该模型耦合脉冲作用与反应扩散过程，兼具连续时空演化与离散瞬时扰动特性，为描述瞬时干预与连续动态的耦合结构提供了有效建模框架。 近十年来，已有大量研究聚焦于具有空间均匀性和时空异质性的经典脉冲反应扩散方程。然而，关于脉冲非局部扩散系统的研究仍较为匮乏，且尚未出现关于具有时空移动异质性的脉冲非局部扩散系统的研究结果。因此，本文将脉冲扰动与环境移动效应纳入非局部扩散模型框架，构建移动生境下的脉冲非局部扩散系统，并分别针对单调与非单调增长模式研究其时空动力学行为，重点讨论不同环境移动速度下系统的传播性质与强迫波的存在性、唯一性及不存在性。 需要强调的是，相较于已有研究，本文所考虑的系统在理论分析上面临以下核心挑战：一是与脉冲反应扩散系统的研究相比，我们必须克服卷积算子导致解映射缺乏紧性的难题；二是与均匀介质脉冲非局部扩散系统研究不同，我们需要解决因时空移动异质性导致解映射缺乏空间平移不变性的问题；三是与已有关于连续时间非局部扩散方程的研究相比，该模型需要处理由脉冲模式引发的时间不连续性问题。此外，在研究非单调增长模式下的系统性质时，单调动力系统相关理论不再适用。
主要结果与意义：在Science China Mathematics 这篇论文中，我们从传播性质以及行波解的角度，建立了单调以及非单调脉冲模式下，移动生境中脉冲非局部扩散系统的时空动力学结果。本文的主要结果与研究思路可归纳如下： 单调与非单调情形下的传播性质：将混合系统转化为由连续非紧半流与离散时间映射构成的离散时间递归系统，细致讨论证明该系统存在渐近平移不变性，进而借助渐近平移不变性单调演化系统理论以及比较讨论方法，建立不同移动速度场景下系统的向上收敛性与渐近湮灭性质。 单调强迫波的存在性：将系统强迫波的存在性转化为递归映射的不动点问题。借助 Kuratowski非紧测度理论以及映射的Lipschitz连续性，我们给出了保证轨道列紧的充分条件，进而证明存在使得当介质移动速度时，系统存在单调的强迫波。这一部分的研究思路，也为解决非局部扩散问题中紧性缺失的难点提供了新的见解。 非单调情形强迫波的存在性：构建了一个合适的不变集，随后运用Darbo不动点定理证明强迫波的存在性。 强迫波的唯一性和不存在性：运用滑动平面思想证明了单调强迫波的唯一性。结合对波形函数的先验估计与反证法，我们证明当时系统不存在强迫波。 本文系统研究了移动生境下脉冲非局部扩散系统的时空动力学行为，建立了不同环境移动速度下系统传播性质与强迫波存在性、唯一性及不存在性的理论框架。该研究结果进一步推广了非局部扩散方程的相关理论成果，其研究方法亦可为含时空异质性的非局部扩散模型相关研究提供理论参考与方法支撑。值得注意的是，本文所考虑的为BG型移动生境场景，具体而言，空间区域左侧为不适宜生境，右侧为适宜生境。而对于其他更为一般的移动生境场景，脉冲扩散系统将呈现怎样的时空动力学行为，以及脉冲模式、非线性增长与移动生境三者之间的相互作用，是否会催生新的动力学结果，仍有待进一步深入探究。
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